*** Étude d'une suite (2)

1. Démontrer que l’équation \(x = \displaystyle\frac{x^3}{4}+\displaystyle\frac{3}{8}\)  admet une unique solution dans l’intervalle \([0 \ ;\ 1]\) . On note  \(a\) cette solution.

2. On considère la fonction  \(f\) définie, pour tout réel  \(x\) de  \([0 \ ;\ 1]\) , par \(f(x)= \displaystyle\frac{x^3}{4}+\displaystyle\frac{3}{8}\)  et la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et, pour tout entier naturel  \(n\) ,  \(u_{n+1} = f(u_n).\)
    a. Calculer \(u_1\) .
    b. Démontrer que la fonction  \(f\) est croissante sur l’intervalle \([0 \ ;\ 1]\) .
    c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) , on a \(0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1\) .
    d. Prouver que la suite \((u_n)\) est convergente.
    e. Démontrer que \(\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=a\) .